-20151230-高一数学必修一应知应会
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高一数学应知应会必修一.doc
第一单 集合
1．集合的含义： 构成一个集合(set).
注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述. （2）集合是一个“整体.
（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的
2．集合中的元素：
集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.
集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A, 元素用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等.
思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？
【答】
3．集合中元素的特性：
（1）确定性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.
4．常用数集及其记法：
一般地，自然数集记作____________正整数集记作__________或___________
整数集记作________有理数记作_______实数集记作________
5．元素与集合的关系：
如果a是集合A的元素，就记作__________读作“___________________”；
如果a不是集合A的元素，就记作______或______读作“_______________”；
6．集合的分类：
按它的元素个数多少来分：（i） _________________叫做有限集；
（ii）_________________叫做无限集；（iii） ____叫做空集，记为_____________
7. 集合的常用表示方法：
（1）列举法
将集合的元素一一列举出来，并_________________表示集合的方法叫列举法.
注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合的元素必须是明确的；
③各元素的出现无顺序； ④集合里的元素不能重复；
⑤集合里的元素可以表示任何事物.
（2）描述法
将集合的所有元素都具有性质（ ）表示出来，写成_________的形式, 称之为描述法.
注意：
①写清楚该集合中元素满足性质； ②不能出现未被说明的字母；
③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；④所有描述的内容都要写在集合的括号内；
⑤用于描述的语句力求简明，准确.
思考:还有其它表示集合的方法吗？
【答】 文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形} 图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.
8. 集合相等
如果两个集合A，B所含的元素完全相同，____________________________ 则称这两个集合相等，记为：_____________
9．子集的概念及记法：
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（ ），则称
集合 A为集合B的子集（subset）,记为_______或___________读作“__________”或“________”用符号语言可表示为：_______________
如右图所示： _______________________
注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；
（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.
10．子集的性质：
① A A ② ③ ,则
思考:与能否同时成立？【答】 _________
11．真子集的概念及记法：
如果，并且A≠B，这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,记为
_________或_________读作“____________________”或“__________________”
12．真子集的性质：
①是任何非空集合的真子集，符号表示为___________________
②真子集具备传递， 符号表示为___________________
13．全集的概念：
如果集合U包含我们所要研究的各个集合，这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____
14．补集的概念：
设____________，由U中不属于A的所有元 素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________读作“__________________________”
即：=_______________________可用
右图阴影部分来表示：__________________
15．补集的性质：
① =____________ ② =_________ ③ =___________
16．交集的定义：
一般地，_________________，称为A与B交集(intersection set)，记作____________
读作“___________”.交集的定义用符号语言表示为： _______________________
交集的定义用图形语言表示为：
_________________________________
注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合.
（2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=.
17．交集的常用性质：
（1） A∩A = A； （2） A∩=； （3） A∩B = B∩A；
（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)； （5） A∩B A， A∩BB
18．集合的交集与子集：
思考: A∩B=A，可能成立吗？
【答】_______________________________
结论： A∩B = AAB
19．区间的表示法：
设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：
[a， b] = _____________________
（a， b）= _____________________
[a ，b）= _____________________ （a ，b] = ______________________
（a，+∞）=______________________
（-∞，b）=______________________
（-∞，+∞）=____________________
其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭
区间；a，b叫做相应区间的端点.
注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应实数的取值集合又一种符号语言.
（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号隔开.
（3）∞读作无穷大，它是一个符 号，不是一个数.
20．并集的定义：
一般地，_______________________________，称为集合A与集合B的并集(union set) 记作__________读作“___________”.交集的定义用符号语言表示为：
__________________________________交集的定义用图形语言表示为：
注意： 并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一
个集合中要注意元素的互异性.
21．并集的常用性质：
（1） A∪A = A； （2） A∪= A； （3） A∪B = B∪A；
（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)； （5） AA∪B， BA∪B
22．集合的并集与子集：
思考: A∪B=A，可能成立吗？A∪是什么集合？【答】____________________
结论：A∪B = B AB
第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）
1.函数的定义：设是两个 数集，如果按某种对应法则，对于集合中的 元素，在集合中都有 的元素和它对应，这样的对应叫做从到的一个函数，记为 ．其中 组成的集合叫做函数的定义域， 的取值集合叫做函数的值域。
2．函数的图象：将函数自变量的一个值作为 ，相应的函数值作为 ，就得到坐标平面上的一个点，当自变量 ，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
3．函数的图象与其定义域、值域的对应关系：函数的图象在轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域，在轴上的射影构成的集合对应着函数的值域．
4．用 来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的 与 一目了然；用 来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称 ），其优点是函数关系清楚，容易从 求出其对应的 ，便于 ；用 来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法，其优点是能直观地反映函数值随 变化的趋势．
5．二次函数的形式：
（1）一般式：
；
（2）交点式：，其中，分别是的图象与轴的两个交点的横坐标；
（3）顶点式：， 其中是抛物线顶点的坐标；
6．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法。例如，求二次函数解析式的基本步骤是：
（1）设出函数的一般式（或顶点式、交点式）；
（2）代入已知条件，列方程（组）；
（3）通过解方程（组）确定未知系数；
7．单调增函数的定义：
一般地，设函数的定义域为，区间．
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是单调增 函数，称为的单调 增 区间．
注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；
⑵. 单调性、单调区间是有区别的；
8．单调减函数的定义：
一般地，设函数的定义域为，区间．
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是单调 减函数，称为的单调 减 区间．
9．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 的图像。（填＂上升＂或＂下降＂）
10．函数单调性证明的步骤：
（1）根据题意在区间上设 ；
（2）比较大小 ；
(3)下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .
11．函数最值的定义：
一般地，设函数的定义域为． 若存在定值，使得对于任意，有 恒成立，则称为的最大值，记为；
若存在定值，使得对于任意，有 恒成立，则称为的最小值，记为；
12．单调性与最值：
设函数的定义域为，若是增函数，则 ， ；
若是减函数，则 ， ．
13．分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应解析式的图象；
14．偶函数的定义：
如果对于函数的定义域内的任意一个，都有 ，那么称函数是偶函数．
注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；
（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
15．奇函数的定义：
如果对于函数的定义域内的任意一个，都有 ，那么称函数是奇函数．
16．函数图像与单调性：
奇函数的图像关于 对称；偶函数的图像关于 轴对称．
17．函数奇偶性证明的步骤：
（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；
（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系 ；
(3)下结论 .
18．一般地设A、B两个集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A→B
由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集。
第三章 指数函数、对数函数和幂函数
1．如果，则称为的 ；如果，则称为的 ．
2. 如果，则称为的 次实数方根 ；的次实数方根等于 ．
3. 若是奇数，则的次实数方根记作； 若则为 数，若则为 数；若是偶数，且，则的次实数方根为 ；负数没有 次实数方根．
4. 式子叫 ，叫 ，叫 ； ．
5. 若是奇数，则 ；若是偶数，则 ．
6．正数的分数指数幂的意义：
（1）正数的正分数指数幂的意义是 ；
（2）正数的负分数指数幂的意义 ．
7．分数指数幂的运算性质：
即 ，
，
．
8. 有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用.
9. 的正分数指数幂等于 .
10．形如 ________________ 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ，值域是 ．
11.指数函数恒经过点 ．
12.当时，函数单调性为 ；
当时，函数单调性是在 ．
13．已知，与的图象关于 对称；与的图象关于 对称.
14. 已知，由 的图象 向左平移个单位
得到的图象； 向右平移个单位 得到的图象； 向上平移个单位 得到的图象； 向下平移个单位 得到的图象.
15.对数定义：
一般地，如果（）的次幂等于, 即，那么就称是以为底的对数（logarithm），记作 ，其中，叫做对数的底数(base of logarithm)，叫做真数(proper number)。
着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，与所表示的是三个量之间的同一个关系。
16. 对数的性质：
（1） ，（2） （3）
这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。
两种特殊的对数是①常用对数：以10作底 简记为
②自然对数：以作底（为无理数），
= 2.718 28…… ， 简记为．
对数恒等式（1） （2）
17.对数的运算性质 如果 a > 0 ， a ¹ 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）； |
（2）（3）
18．对数换底公式
说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）：
① ；② ；③
换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则，所以利用换底公式可以解决一些对数的底不同的对数运算。
19.对数函数的定义：
函数 叫做对数函数(logarithmic function),
定义域是
思考：函数与函数的定义域、值域之间有什么关系？
20. 对数函数的性质为
图 象 | |||||||||
|
| ||||||||
性 质 | （1）定义域： | ||||||||
（2）值域： | |||||||||
（3）过点，即当时， | |||||||||
（4）在（0，+∞）上是增函数 | （4）在上是减函数 | ||||||||
21. 对数函数的图象与指数函数的图象关于直线 对称。
画对数函数的图象，可以通过作关于直线的轴对称图象获得，但在一般情况下，要画给定的对数函数的图象，这种方法是不方便的。所以仍然要掌握用描点法画图的方法，注意抓住特殊点（1，0）及图象的相对位置。
22.指数函数与对数函数称为互为反函数。
指数函数的定义域和值域分别是对数函数的值域和定义域。
23．一般地，如果函数存在反函数，那么它的反函数，记作
思考：互为反函数的两个函数的定义域和值域有什么关系？
原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域。
24．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
25.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点 ；
（2）当时，幂函数在上 ；当时，幂函数在上 ；
（3）当时，幂函数是 ；当时，幂函数是 ．
26．幂函数的性质：
（1）都过点 ；
（2）任何幂函数都不过 象限；
（3）当时，幂函数的图象过 ．
27．幂函数的图象在第一象限的分布规律：
（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；
（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在
象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 对称．
28.二次函数的零点的概念
一元二次方程的根也称为二次函数（≠0）的零点．
29. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
（1）一元二次方程（≠0）有两个不相等的实数根，判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有两个交点为，对应的二次函数（≠0）有两个不同的零点，；
（2）一元二次方程（≠0）有两个相等的实数根=判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有唯一的交点为（，0）对应的二次函数（≠0）有两个相同零点=；
（3）一元二次方程（≠0）没有实数根判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴没有交点对应的二次函数（≠0）没有零点．
30. 推广
⑴函数的零点的概念
一般地，对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．
⑵函数的零点与对应方程的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
31．二分法
对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
32．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
33．函数与方程
两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．
34．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上
方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
35．数学模型就是把 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
数学建模就是把实际问题加以 建立相应的 的过程，是数学地解决问题的关键．实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 ．
36.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和 ．
单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和 ．3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值，可以用公式 表示．
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